2014年考研数学二真题(2014年考研数学二真题解析)




2014年考研数学二真题,2014年考研数学二真题解析

大家好!本文和大家分享一道2014年福建高考数学真题。这道题是当年福建高考理科数学的最后一题,也就是第3道选做题。当年福建高考数学试卷的题型设置与全国卷不一样,福建数学试卷包括了10道选择题、5道填空题、5道必做解答题和3道选做题。下面我们来看一下这道考查绝对值不等式与柯西不等式的选做题。

先看第一小问:求参数a的值,实际上就是考查绝对值函数与绝对值不等式。下面介绍4种解法。

解法一:绝对值不等式的基本性质

根据绝对值不等式的基本性质:|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||,可以得到|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,所以f(x)的最小值为3,此时-1≤x≤2,所以a=3。

解法二:函数单调性

根据零点分段法去掉绝对值符号。当x<-1时,f(x)=-2x+1为减函数,所以f(x)>f(-1)=3;当-1≤x≤2时,f(x)=3;当x>2时,f(x)=2x-1为增函数,所以f(x)>f(1)=3。综上,f(x)的最小值为3,所以a=3。

解法三:数形结合

同样先用零点分段法去掉绝对值符号,则当x<-1时,f(x)=-2x+1,当-1≤x≤2时,f(x)=3,当x>2时,f(x)=2x-1。然后画出f(x)的函数图像,有图像就可以看出f(x)的最小值为3,故a=3。

解法四:绝对值的几何意义

绝对值的几何意义实际上就是数轴上两点间的距离,所以|x+1|和|x-2|分别表示数轴上的点x到-1和2的距离,很明显这两个距离之和的最小值就是-1到2之间的距离,也就是3,故a=3。

再看第二小问:证明,实际上考查三维形式的柯西不等式。

柯西不等式是解决最值问题的一个重要方法,首先看一下三维形式的柯西不等式:(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)≥(ad+be+cf)^2,当且仅当a=kd,b=ke,c=kf时,等号成立。

由(1)可知,a=3,即p+q+r=3,所以根据三维形式的柯西不等式知:(p^2+q^2+r^2)(1^2+1^2+1^2)≥(p×1+q×1+r×1)^2=(p+q+r)^2=9,所以3(p^2+q^2+r^2)≥9,即p^2+q^2+r^2≥3。

整体来说,这道题的难度不大,但是却是高考数学的一个常考知识点,高中学生必须要掌握。

2014年考研数学二真题(2014年考研数学二真题解析)

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